Fonction gamma : cours

Juillet 2003 La fonction Gamma (par A. Joyal pour le camp math ematique) La fonction Gamma est l’un des joyaux des math ematiques. On la retrouve en analyse, en th eorie des nombres, en th eorie des probabilit es et en th eorie des repr esentations des groupes. Depuis Legendre, on dit que les int egrales Z Z1 1 t x 1 p 1 q 1 ( x) = e t dt et B(p;q) = t (1 t) dt 0 0 sont eul eriennes. La premi ere d e nit la fonction Gamma et la seconde la fonction B^eta. x0 Un peu d’histoire x1 Les fonctions B^eta et Gamma x2 Applications x3 Exercices x4 Prolongement analytique x5 Exercices x 0 Un peu d’histoire L’origine de la fonction B^eta remonte au d ebut du calcul di erentiel et int egral. Elle fait sa premi ere apparition dans l’Arithmetica In nitorum publi e par Wallis en 1665. L’ouvrage contient la c el ebre formule de Wallis: 2 2 4 4 6 6 = : 2 1 3 3 5 5 7 La m ethode qu’utilise Wallis pour obtenir sa formule est particuli erement originale. Il se propose de calculer l’aire d’un cercle en calculant l’int egrale Z 1p 2= 1 x dx: (2) : 4 0 Comme il sait calculer les int egrales Z 1 1ax dx = (1) a + 10 pour un exposant fractionnairea, il peut aussi calculer les int egrales Z 1 1=p qI(p;q) = (1 x ) dx: 0 1pour q un entier positif. Il dresse alors un tableau de A(p;q) =I(p;q) pour tous les entiers p;q 10.