Cours et exercices sur le PPCM et PGCD

PGCD ET PPCM I. Plus grand commun diviseur Par convention, dans ce paragraphe, lorsque l’on parlera de diviseurs d’un entier naturel, il s’agira toujours des diviseurs positifs. 1. Diviseurs communs à deux entiers positifs Notation : pour tout entier naturel a, on note d(a) l’ensemble des diviseurs de a. Exemple : d(14) = ……………………… d(5) = ………………………. Remarques : • Si a 0 alors d(a) ne contient que des entiers naturels inférieurs ou égaux à a • Si a > 1, alors d(a) contient 1 et a • Le plus grand élément de d(a) est a et le plus petit est 1 • d(1) ne contient que l’élément 1. Notation : d(a ; b) est l’ensemble des diviseurs communs à a et b. Ainsi d(a ; b) = d(a) d(b) Exemple : d(7 ; 14) = ………………….. et d(3 ; 5) = ……………………………… Remarques : • d(a ; b) est un ensemble non vide, il contient toujours 1 • d(a ; b) contient un plus grand élément car il contient tous les nombres inférieurs ou égaux à a et à b si a 0 et si b 0 et inférieur à a si b = 0. Notation : Le plus grand diviseur commun à a et b est noté PGCD Exemple : a = 24 et b = 18. Trouvez les diviseurs communs de a et b et déduisez en leur PGCD 2. Conséquences immédiates Prop : • d(a ; 0) = d(a) pour tout a entier naturel • Si b / a alors PGCD(a ; b) = b Démonstration : Page 1 sur 5 „„„˙ Exemple : PGCD(3 ; 12) = 3.